Zentrische Streckung - Schwerpunkt, Ähnlichkeit, Matheübungen

Schwerpunkt von Dreiecken zeichnerisch und rechnerisch bestimmen, Ähnlichkeit von Figuren überprüfen. - Lehrplan

Hilfe
  • Ähnliche Dreiecke stimmen in allen Winkelmaßen und Seitenverhältnissen überein. Eine Zeichnung kann helfen.
  • Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

    • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
    • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.

Überprüfe, ob die Dreiecke ABC und A'B'C' ähnlich zueinander sind. Fülle dann den Lückentext aus.

  • A(0|1), B(2|1), C(0|3);
    A'(2|3), B'(4|3), C'(2|5);
    Die Dreiecke ABC und 
    A'B'C'
     sind weil ABC wurde zum Bilddreieck 
    A'B'C'
    .
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Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?
#708
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

  • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
  • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
graphik
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
 
'
=
?
β
 
'
=
?
Was ist der Schwerpunkt eines Dreiecks und wo befindet er sich?
#800
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden.
Was ist das Teilverhältnis, wenn ein Punkt T eine Strecke von A nach B teilt?
#887
Teilverhältnis

Eine Strecke von A nach B wird von einem Punkt T der Strecke geteilt. Der Quotient aus der Länge der Strecke von A nach T und der Länge der Strecke von T nach B nennt man das zugehörige Teilverhältnis.
Beispiel
Der Punkt T liegt auf 
AB
 und teilt diese im Verhältnis 3 : 7 von A aus gesehen. Wie lauten die Koordinaten von T, wenn gilt: A(1|2), B(9|8)?