Zentrische Streckung, Matheaufgaben

Zentrische Streckung einer Figur bei gegebenem Zentrum Z und Streckungsfaktor k. Ermittlung von Z und k anhand gegebener Figur und Bildfigur; Eigenschaften der zentrischen Streckung - 79 Aufgaben in 20 Levels

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    Zeichne Geraden durch A und A' sowie B und B'. Der Schnittpunkt der Geraden ist Z.
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level

    Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
    • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
    • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
    • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
    • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 16
  • Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k. Dieser ist entweder ganzzahlig oder von der Sorte x,5. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    • graphik
    Z
     
     ▉ 
     
    |
     
    		 ▉ 
    k
    =
    		 ▉ 
    Schritt 1 von 2
    Z
     
     
    |
     
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Stoff zum Thema (+Video)
Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?
#882

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

Beispiel 1
Strecke das Viereck ABCD am Streckungszentrum Z mit Streckungsfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
−
1
 
|
 
4
Streckungszentrum:
Z
 
−
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
Beispiel 2
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
.
k=?
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
  • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
  • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
 soll mit
a) 
k
=
0,5
b) 
k
=
−
2
 
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor 
A'B'
 und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P.
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung).
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden.
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden.
Beispiel 1
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
Beispiel 2
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Beispiel 3
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?

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