Vektoren (zweidimensional), Matheaufgaben

Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne den Bildvektor.

v

=

5

−
2

k
=
1,5

v'

=

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Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?

#884

Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:

Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)

Beispiel

−

soll mit

0,5

−

zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor

A'B'

und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.

Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke AB?

#542

Für den Mittelpunkt M(x|y) einer Strecke AB mit A(x_A|y_A) und B(x_B|y_B) gilt:

x = (x_A + x_B) : 2
y = (y_A + y_B) : 2

Beispiel

Berechne den Mittelpunkt der Strecke [PQ], wenn P(2|5) und Q(4|1) ist.

Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?

#708

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.

Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?

#885

Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:

Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden

Beispiel 1

Beispiel Streckungsfaktor:

Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor

Beispiel 2

Beispiel Bildpunkt:

Z(-1|1),

, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').

Beispiel 3

Beispiel Urpunkt:

Z(-3|1),

, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).

Wie ermittelt man den Vektor einer einzelnen Parallelverschiebung, die zwei hintereinanderfolgenden Parallelverschiebungen entspricht?

#541

Die Verknüpfung von zwei Parallelverschiebungen kann durch eine einzige Parallelverschiebung ersetzt werden. Der neue Verschiebungsvektor errechnet sich aus der Summe der beiden ursprünglichen Vektoren.

Beispiel

Gegegeben sind die Vektoren

und

−

Zwei Parallelverschiebungen hintereinander mit diesen beiden Vektoren können ersetzt werden durch eine Parallelverschiebung mit dem Summenvektor:

⊕

−

Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?

#886

Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:

Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.

Beispiel 1

Die Parabel

p: y

−

soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und

. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel

Beispiel 2

Die Gerade

g: y

−

soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und

0,5