Zusammengesetzte Funktion untersuchen, Matheübungen

Untersuchung von Funktionen, die sich aus mehreren Funktionstypen (z.B. ganzrational und exponentiell) zusammensetzen - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 14 Aufgaben in 4 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.
    • Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    x
    −
    1
    ·
    e
    0,5x
    .
    a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
    b) Gib alle Nullstellen an.
    c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte von 
    G
    f
    .
    d) Berechne f(-5), f(0) und f(2) und zeichne 
    G
    f
     auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
    −
    5
     
    ≤
     
    x
     
    ≤
     
    2
    .
    e) Die Tangente an 
    G
    f
     an der Stelle 
    x
    =
    0
     bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
    Schritt 1 von 8
    Zu a)
    l i m
    x→∞
     
    f
     
    x
    =
    l i m
    x→−∞
     
    f
     
    x
    =
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
Beispiel 1
Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
2
−
3x
·
e
−
x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte.
d) Berechne f(-0,5), f(0) und f(4) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
−
0,5
 
≤
 
x
 
≤
 
4
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
Beispiel 2
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
f
k
 mit  
f
k
 
x
=
x
·
e
1
−
x
k
,  Definitionsmenge 
D
f
 
=
 
ℝ
 und 
k
 
∈
 
ℝ
+
. Der Graph von 
f
k
 wird mit 
G
k
 bezeichnet.
a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von 
f
k
 für x→±∞ an.
b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von 
G
k
 in Abhängigkeit von k.
c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
e) Bestimme den Wert für 
k
 so, dass 
G
k
 durch den Punkt 
6
 
|
 
6
e
2
 verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
Beispiel
Gegeben ist die für x ∈ [-2π;2π] definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
sin
 
2π
3
+
3
3
.
a) Untersuche den Graphen von f bzgl. Symmetrie zum Koordinatensystem.
b) Ermittle alle Nullstellen von f.
c) Bestimme alle relativen Extrempunkte von Gf.
d) Skizziere Gf unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse.