1.2 Exponentialfunktionen, Mathe-Übungen

Exponentielles Wachstum und Logarithmus - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Beachte: Wenn eine Größe
    • um 20% abnimmt, dann besitzt sie nach der Abnahme 80% des Ursprünglichen Wertes, ist also 0,8 mal so groß wie vorher;
    • um 20% zunimmt, dann besitzt sie nach der Zunahme 120% des Ursprünglichen Wertes, ist also 1,2 mal so groß wie vorher.
  • Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
    • a > 0 der Wachstumsfaktor und
    • b = f(0) der Anfangsbestand
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Runde auf ganze Prozent.

  • Eine Population ist innerhalb von 7 Jahren um 50% angewachsen. Um wie viel Prozent wuchs sie jährlich?
    Um ca. Prozent.
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
−
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
−
x
 
   streng monoton?
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
  • b>0 und a>1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a)
  • b>0 und 0<a<1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a)
  • g(x) = −b·ax:
    der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt
  • h(x) = b·(1/a)x:
    der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
f
 
x
=
2
·
1,5
x
     
g
 
x
=
5
·
1,1
x
     
h
 
x
=
3
·
3
4
x
     
i
 
x
=
−
2
·
1,5
x
     
k
 
x
=
3
·
4
3
x
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung 
y
=
b
·
a
x
. Bestimme a und b.
graphik
Beispiel 2
Schreibe in der Form 
f
 
x
=
b
·
a
x
.
f
 
x
=
1
5
6
·
2
1
−
x
Beispiel 3
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent