1.2 Exponentialfunktionen, Matheübungen

Exponentielles Wachstum und Logarithmus - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

    Im Fall b > 0

    • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
    • fällt der Graph für 0 < a < 1

    Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Kreuze richtig an. In der zweiten Zeile ist das größtmögliche Zahlenintervall anzugeben.

  • y
    =
    2
    +
    a
    x
    Es handelt sich um eine
         
    lineare
     
         
     
    Exponentialfunktion
    Der Graph steigt für
         
     
    a
    >
    0
     
         
     
    a
    >
    −
    2
     
         
     
    a
    >
    −
    1
     
         
    a ∈ IR     
     
    keinen a-Wert
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Wie beeinflussen die Parameterwerte den Verlauf des Graphen einer Exponentialfunktion?
#349
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
−
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
−
x
 
   streng monoton?
Wie beeinflussen die Werte von a und b sowie ihre Modifikationen den Graphen der Funktion f(x) = b*a^x?
#951
Ist f(x) = b·ax, so gilt für
  • b>0 und a>1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und steigt an (umso steiler, je größer a)
  • b>0 und 0<a<1:
    der zugehörige Graph schneidet die y-Achse im positiven Bereich und fällt (umso steiler, je kleiner a)
  • g(x) = −b·ax:
    der Graph von g entsteht, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt
  • h(x) = b·(1/a)x:
    der Graph von h entsteht, indem man den Graphen von f an der y-Achse spiegelt
Beispiel
Skizziere die Graphen folgender Funktionen:
f
 
x
=
2
·
1,5
x
     
g
 
x
=
5
·
1,1
x
     
h
 
x
=
3
·
3
4
x
     
i
 
x
=
−
2
·
1,5
x
     
k
 
x
=
3
·
4
3
x
Wo ergeben sich welche Symmetrien? Welche Funktion wächst am stärksten?
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung 
y
=
b
·
a
x
. Bestimme a und b.
graphik
Beispiel 2
Schreibe in der Form 
f
 
x
=
b
·
a
x
.
f
 
x
=
1
5
6
·
2
1
−
x
Beispiel 3
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent