1.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse) - 13 Aufgaben in 4 Levels

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  • Beispiel
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    Lösungsmengen von Gleichungssystemen

    Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

    Das Gleichungssystem hat...

    • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
    • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
    • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Löse mit dem Gauß-Verfahren und kreuze die richtige Lösungsmenge an.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • −
    2x
    1
    2x
    1
    −
    3x
    1
     
    +
    2x
    2
    −
    4x
    2
    +
    4x
    2
     
    −
    3x
    3
    +
    8x
    3
    −
    7x
    3
     
    =
    0
     
     
     
    =
    −
    12
     
     
     
    =
    6
     
     
     
     ▉ 
     
    L
    =
     
    { }
     ▉ 
     
    L
    =
     
    {
     
    1
    +
    6t
    ;
    6
    +
    2,5t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
     ▉ 
     
    L
    =
     
    {
     
    6
    +
    t
    ;
    6
    +
    2,5t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
     ▉ 
     
    L
    =
     
    {
     
    6
    +
    t
    ;
    4
    +
    6t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
    Schritt 1 von 6
    x1 soll aus der zweiten und dritten Gleichung eliminiert werden. Dazu sind zwei der folgenden Vorschläge sinnvolle Schritte. Kreuze diese an:
     
    Subtrahiere Gleichung I von Gleichung II
     
    Addiere Gleichung I und Gleichung II
     
    Subtrahiere Gleichung II von Gleichung III
     
    Addiere das 2-fache von Gleichung II zum 3-fachen von Gleichung III
     
    Addiere das 3-fache von Gleichung II zum 2-fachen von Gleichung III
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Stoff zum Thema
Wie erkennt man die Lösungsmengen eines Gleichungssystems in Stufenform oder mit dem GTR?
#732

Lösungsmengen von Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

Das Gleichungssystem hat...

  • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
  • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
  • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
Beispiel
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem Gaußverfahren:
5x
1
5x
1
−
10x
1
 
−
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
−
8x
3
 
=
5
 
 
 
=
11
 
 
 
=
−
8
 
 
 
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
−
5x
2
−
9x
2
−
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
15
 
 
 
=
−
2