1.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe

  • Lösungsmengen von Gleichungssystemen

    Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

    Das Gleichungssystem hat...

    • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
    • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
    • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Löse mit dem Gauß-Verfahren und kreuze die richtige Lösungsmenge an.

  • −
    2x
    1
    2x
    1
    −
    3x
    1
     
    +
    2x
    2
    −
    4x
    2
    +
    4x
    2
     
    −
    3x
    3
    +
    8x
    3
    −
    7x
    3
     
    =
    0
     
     
     
    =
    −
    12
     
     
     
    =
    6
     
     
     
     
    L
    =
     
    { }
     
    L
    =
     
    {
     
    1
    +
    6t
    ;
    6
    +
    2,5t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
     
    L
    =
     
    {
     
    6
    +
    t
    ;
    6
    +
    2,5t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
     
    L
    =
     
    {
     
    6
    +
    t
    ;
    4
    +
    6t
    ;
    t
     
    |
     
    t
     
    ∈ ℜ
     
    }
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Wie erkennt man die Lösungsmengen eines Gleichungssystems in Stufenform oder mit dem GTR?
#732

Lösungsmengen von Gleichungssystemen

Ein lineares Gleichungssystem kann unterschiedliche Lösungsmengen besitzen:

Das Gleichungssystem hat...

  • genau eine Lösung: Bei der Umformung in Stufenform bleiben alle Variablen erhalten bzw. bei der Lösung mit dem GTR entsteht am Display bis auf die letzte Spalte eine Einheitsmatrix (Diagonaleinträge 1, restliche Einträge 0), in der letzten Spalte steht die Lösung des Gleichungssystems.
  • keine Lösung: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich irgendwann ein Widerspruch (0x3=1) bzw. am Display des GTR erscheinen in der untersten Zeile nur Nullen BIS AUF DEN LETZTEN Eintrag, der von Null verschieden ist.
  • unendlich viele Lösungen: bei den Umformungen in Stufenform ergibt sich eine allgemein gültige Gleichung (0x3=0) bzw. am Display des GTR sind ALLE Einträge der untersten Zeile gleich Null.
Beispiel
Bestimme die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme mit dem Gaußverfahren:
5x
1
5x
1
−
10x
1
 
−
x
2
+
x
2
+
2x
2
 
+
4x
3
+
x
3
−
8x
3
 
=
5
 
 
 
=
11
 
 
 
=
−
8
 
 
 
 
          
 
2x
1
4x
1
 
 
 
−
5x
2
−
9x
2
−
2x
2
 
+
2x
3
 
 
+
8x
3
 
=
7
 
 
 
=
15
 
 
 
=
−
2