1.2 Wendestellen und Krümmung, Matheübungen

Wendestellen entsprechen Stellen mit steilster Steigung - Lehrplan (im Aufbau)

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  • Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

    f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

    f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

    Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

    VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

    VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

    kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

Sei f eine in ganz IR zweimal differenzierbare Funktion. Entscheide aufgrund der gegebenen Informationen, welche Aussage für f bzw. Gf an den Stellen x = a, x = b und x = c jeweils zutrifft. Legende: "+/-" bedeutet "positiver/negativer Wert", "VZW" steht für "Nullstelle mit Vorzeichenwechsel".

  • x
    a
    b
    c
    f ´ (x)
    0
    −
    1
    f ´´(x)
    −
    VZW
    VZW
    Relatives Minimum bei x
    =
    a
    Terrassenpunkt bei x
    =
    b
    Wendepunkt bei x
    =
    c
     
         
     
     
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
    ja
     
         
     
    nein
     
         
     
    vielleicht
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Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1