1.2 Wendestellen und Krümmung, Matheübungen

Wendestellen entsprechen Stellen mit steilster Steigung - Lehrplan (im Aufbau) - 10 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 2
  • Bestimme das Krümmungsverhalten von Gf.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    1
    12
     
    x
    4
    +
    1
    12
     
    x
    3
    −
    3
    4
     
    x
    2
    +
    x
    −
    2
    3
    ;
    ID
    f
    =
    ID
    max
    Rechtskrümmung für
         
     
     
    x
    <
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    <
    1
     
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    1
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    2
     
         
     
     
    x
    >
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    >
    1
     
         
     
     
    x
    >
    2
    Linkskrümmung für
         
     
     
    x
    <
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    <
    1
     
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    1
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    2
     
         
     
     
    x
    >
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    >
    1
     
         
     
     
    x
    >
    2
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
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Stoff zum Thema
Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?
#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt

Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.
Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?
#517
Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

Gf besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel
Bestimme sämtliche Wendepunkte von Gf sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).
f
 
x
=
−
1
4
 
x
3
+
6x
2
−
45x
−
1