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  • f bzw Gf f ´ f ´´
    streng monoton zunehmend positiv
    streng monoton abnehmend negativ
    linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
    rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
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Entscheide aufgrund des abgebildeten Graphen Gf. Pro Zeile ist mindestens eine Aussage anzukreuzen.

  • graphik
    f
     
    0
        
    =
    0
        
     
    > 0
        
     
    < 0
    f ´
     
    0
        
    =
    0
        
     
    > 0
        
     
    < 0
    f ´´
     
    x
     
    < 0 für x ∈
        
     
    ]
     
    2
    3
     
    3
     
    ;
     
    2
    3
     
    3
     
    [
         
     
         
     
    +
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Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?
#400

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f ´
 
x
=
1
3
·
x
3
·
x
+
5
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

graphik
Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
2x
3
9
2
 
x
2
+
2x.