1.5 Monotonie und Krümmung, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme das Krümmungsverhalten von Gf.

  • f
     
    x
    =
    1
    12
     
    x
    4
    +
    1
    12
     
    x
    3
    −
    3
    4
     
    x
    2
    +
    x
    −
    2
    3
    ;
    ID
    f
    =
    ID
    max
    Rechtskrümmung für
         
     
     
    x
    <
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    <
    1
     
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    1
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    2
     
         
     
     
    x
    >
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    >
    1
     
         
     
     
    x
    >
    2
    Linkskrümmung für
         
     
     
    x
    <
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    <
    1
     
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    1
         
     
     
    −
    1,5
    <
    x
    <
    2
     
         
     
     
    x
    >
    −
    1,5
     
         
     
     
    x
    >
    1
     
         
     
     
    x
    >
    2
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Was zeigt das Vorzeichen der Ableitung f'(x) einer Funktion an?
#400

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f ´
 
x
=
−
1
3
·
x
3
·
x
+
5
Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?
#514
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

graphik
Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?
#515
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
−
2x
3
−
9
2
 
x
2
+
2x.