1.7 Differenzialrechnung in Sachsituationen, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Löse die Fragestellung im Sachzusammenhang.

  • graphik
    Eine Autofahrerin möchte nicht hinter einem langsamen Traktor herfahren, beschleunigt daher ihren PKW, überholt den Traktor und ordnet sich vor dem Traktor wieder mit etwas gemäßigterer Geschwindigkeit ein. Dieser Vorgang wird durch die in 
    [0; 10]
     definierte Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    −
    1
    6
     
    x
    3
    +
    3
     
    x
    2
    +
    14
     
    x
     modelliert, deren Graph oben abgebildet ist. Dabei entspricht x der Zeit in Sekunden und 
    f
     
    x
     der zurückgelegten Strecke in Metern seit Beginn des Überholmanövers.
    Ermittle die Geschwindigkeiten zu Beginn bzw. am Ende des Überholmanövers, sowie die maximale Geschwindigkeit der Autofahrerin bei diesem Vorgang in Metern pro Sekunde. Hinweis: Die Geschwindigkeit eines Körpers entspricht der Änderungsrate der zurückgelegten Strecke.
    Geschwindigkeit zu Beginn: 
     
    m
    s
    Maximale Geschwindigkeit: 
     
    m
    s
    Geschwindigkeit am Ende: 
     
    m
    s
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Wenn es um die Optimierung einer bestimmten Größe geht, gehe wie folgt vor:
  1. Beschreibe die Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll (z.B. der Flächeninhalt einer Figur, das Volumen eines Körpers oder der Umsatz einer Ware) durch einen Term T, in dem die flexible Größe x (z.B. eine Seite der Figur oder des Körpers, der Preis der Ware) vorkommt.
  2. Falls weitere Variablen im Term vorkommen: Überlege dir, in welchem Zusammenhang sie zu x stehen. Stelle sie in Abhängigkeit von x dar und ersetze sie im obigen Term, so dass T nur noch von x abhängt. Überlege dir auch den Definitionsbereich von T(x).
  3. Bestimme jetzt mit den Werkzeugen der Infinitesimalrechnung (Ableitung etc.) die Stellen, an denen relative Extremata auftreten und beantworte damit die in der Aufgabe gestellten Fragen.

Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

  1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
  2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Randextrema:

Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
  • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
  • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

  1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
  2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
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