1.7 Differenzialrechnung in Sachsituationen, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Mit Maximum und Minimum sind absolute Extremwerte gemeint, also nicht (nur) relative. Betrachte daher auch den Gesamtverlauf des Graphen.

Beantworte: Der Term...

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    besitzt den Wert     
     
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    0,5
     
         
     
    0,5
     
         
     
    −
    0,75
     
         
     
    0,75
         
     
    als Maximum
     
         
     
    als Minimum.
    besitzt weder Maximum noch Minimum.
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keine Berechtigung
Wenn es um die Optimierung einer bestimmten Größe geht, gehe wie folgt vor:
  1. Beschreibe die Größe, die möglichst groß oder möglichst klein werden soll (z.B. der Flächeninhalt einer Figur, das Volumen eines Körpers oder der Umsatz einer Ware) durch einen Term T, in dem die flexible Größe x (z.B. eine Seite der Figur oder des Körpers, der Preis der Ware) vorkommt.
  2. Falls weitere Variablen im Term vorkommen: Überlege dir, in welchem Zusammenhang sie zu x stehen. Stelle sie in Abhängigkeit von x dar und ersetze sie im obigen Term, so dass T nur noch von x abhängt. Überlege dir auch den Definitionsbereich von T(x).
  3. Bestimme jetzt mit den Werkzeugen der Infinitesimalrechnung (Ableitung etc.) die Stellen, an denen relative Extremata auftreten und beantworte damit die in der Aufgabe gestellten Fragen.

Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

  1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
  2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Randextrema:

Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
  • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
  • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

  1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
  2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
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