2.2 Ableitung und Grenzwerte von Verknüpfungen mit der e-Funktion, Matheübungen

Natürliche Exponentialfunktion - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
    • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
    • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
    • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞

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  • lim
    x → −∞
     
    2
    −
    x
    2
    ·
    e
    x
    =
    lim
    x → ∞
     
    2
    −
    x
    2
    ·
    e
    x
    =
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    Notizfeld
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Was ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion?
#1208
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist (wieder) die natürliche Exponentialfunktion.
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Wie funktioniert die Ableitung bei verketteten Funktionen und speziellen Funktionen?
#705
Spezialfall der Kettenregel:
Innere Funktion ist linear
f(x) = h(mx+c)
f´(x) = m · h´(mx+c)
Einige Ableitungen:
f(x) = ex, f´(x) = ex
f(x) = sin(x), f´(x) = cos(x)
f(x) = cos(x), f´(x) = -sin(x)
f(x) = xn, f´(x) = n xn-1
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞