2.3 Zusammenhang von Funktionsterm und Graph, Matheübungen

Gebrochen-rationale Funktionen - Fundamente der Mathematik (11.-13. Klasse) - 24 Aufgaben in 5 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 4
  • Untersuche den Funktionsterm, skizziere den zugehörigen Graph und entscheide anschließend.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
     
    x
    =
    −
    1
    3
     
    x
    +
    2
    −
    5
    3x
    Asymptote(n)
    x
    =
    −
    5
    3
     
         
    x
    =
    0
     
         
     
    x
    =
    3
    y
    =
    −
    1
    3
     
         
     
    y
    =
    −
    1
    3
     
    x
    y
    =
    −
    1
    3
     
    x
    +
    2
    Nullstelle(n)
    x
    =
    0
     
         
     
    x
    =
    1
     
         
     
    x
    =
    3
     
         
     
    x
    =
    5
    Teilstücke des Graphen
    graphik
    graphik
    graphik
    graphik
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Stoff zum Thema
Wie bestimmt und spezifiziert man eine Polstelle in der Mathematik?
#324
Um eine Polstelle x0 zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x0 gehen und einmal von rechts.

Beispiel: x0=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.

Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.

Beispiel
Bestimme alle auftretenden Polstellen und charakterisiere diese näher
3
2x
2
−
4x
Wie leitet man den Funktionsterm einer gebrochen-rationalen Funktion mit Zähler- und Nennergrad höchstens 2 aus ihrem Graphen ab?
#1484

Die Nullstellen des Graphen sind die Nullstellen des Zählers des Funktionsterms.

Die Polstellen des Graphen sind die Nullstellen des Nenners des Funktionsterms. Wenn die Polstelle ohne Vorzeichenwechsel ist, ist der Nennergrad gerade, bei einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist er ungerade.

Wenn der Graph die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote hat, gilt: Zählergrad < Nennergrad.

Wenn der Graph eine waagrechte Asymptote hat, die nicht die \(x\)-Achse ist, dann gilt Zählergrad = Nennergrad. Außerdem kann man aus der Gleichung der Asymptoten die Leitkoeffizienten ablesen: \(y=\frac{a}{b} \Rightarrow f(x)=\frac{a(x - x_1)(x - x_2)}{b(x - p_1)(x - p_2)}\)

Beispiel

Bestimme einen möglichen Term zum Graphen. Zähler- und Nennergrad sind höchstens \(2\).