2.4 Vermischte Übungen, Matheübungen

Potenzen - Potenzgesetze - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse) - 85 Aufgaben in 16 Levels

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Achte darauf, ob das Minus zur Basis gehört oder vor der Potenz steht.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Für Potenzen mit einer negativen Zahl als Basis gilt folgende Regel:
    • Exponent gerade ⇒ Potenzwert positiv, wie z.B. bei (-5)4
    • Exponent ungerade ⇒ Potenzwert negativ, wie z.B. bei (-5)5
    Vorsicht: Wenn das Minuszeichen vor der Basis nicht eingeklammert ist, gilt die Basis als positiv (wegen der Regel "Potenz vor Strich". Darum ist z.B. -52 zu lesen als "Gegenzahl von 52" und hat damit einen negativen Wert.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 16
  • Bestimme das fehlende Vorzeichen bzw. die fehlende Zahl, so dass eine wahre Aussage entsteht.

    • \(\boxed{\phantom{00}}\;(2)^4=-16\)

    \(\;\;\) \(\qquad+\)
    \(\;\;\) \(\qquad-\)


    \(\;-3^4=\;\boxed{\phantom{00}}\;81\)

    \(\;\;\) \(\qquad+\)
    \(\;\;\) \(\qquad-\)

  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Potenzen mit gleicher Basis
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Potenzen mit gleichem Exponent
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Potenz einer Potenz
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Was sind die fünf grundlegenden Potenzgesetze?
#539
Potenzgesetze:
  1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
    ap · aq = ap + q

  2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
    ap : aq = ap − q

  3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
    aq · bq = (a · b)q

  4. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
    aq : bq = (a : b)q

  5. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
    (ap)q = ap·q
Beispiel 1
Beispiel zu Potenzgesetz 1:
 
    
 
3
2
·
3
5
=
3
2
+
5
=
3
7
=
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
7mal
=
2187
Beispiel zu Potenzgesetz 2:
 
    
 
5
6
:
5
5
=
5
6
−
5
=
5
1
=
5
Beispiel zu Potenzgesetz 3:
 
    
 
5
2
·
7
2
=
5
·
7
2
=
35
2
=
1225
Beispiel zu Potenzgesetz 4:
 
    
 
15
2
:
5
2
=
15
:
5
2
=
3
2
=
9
Beispiel zu Potenzgesetz 5:
 
    
 
2
3
4
=
2
3
·
4
=
2
12
=
4096
Beispiel 2
Fasse zusammen:
35c
7
6d
2
:
7
 
c
2
d
5
Was bedeutet eine Potenz mit negativer Hochzahl, z.B. \(2^{-3}\)?
#1406
Ein negativer Exponent bedeutet, dass man den Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten bildet: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \qquad (a \ne 0) \] Der Exponent wird dabei positiv: \[ a^{-1} = \frac{1}{a}, \quad a^{-2} = \frac{1}{a^2}, \quad a^{-3} = \frac{1}{a^3}, \dots \]

Einfaches Zahlenbeispiel:

\[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]
Beispiel

Bestimme das Ergebnis.

\(\displaystyle \left(\frac35\right)^{-3}\)

Wie bestimmt man das Vorzeichen von Potenzen mit negativer Basis und begründe die Regel?
#730
Für Potenzen mit einer negativen Zahl als Basis gilt folgende Regel:
  • Exponent gerade ⇒ Potenzwert positiv, wie z.B. bei (-5)4
  • Exponent ungerade ⇒ Potenzwert negativ, wie z.B. bei (-5)5
Vorsicht: Wenn das Minuszeichen vor der Basis nicht eingeklammert ist, gilt die Basis als positiv (wegen der Regel "Potenz vor Strich". Darum ist z.B. -52 zu lesen als "Gegenzahl von 52" und hat damit einen negativen Wert.
Beispiel
−
2
2
=
?
−
2
2
=
?
−
2
3
=
?
−
2
3
=
?