3.2 Das Integral als orientierter Flächeninhalt, Matheübungen

- G8 Lehrwerk Lambacher Schweizer - 44 Aufgaben in 11 Levels

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    Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

    Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 10
  • Lies aus dem Verlauf der Änderungsrate die Gesamtänderung ab.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • In der Woche der Demokratie bilden die Schülerinnen und Schüler eines Gymnasiums ein "Peace-Zeichen", das aus der Vogelperspektive mithilfe einer Drohne fotografiert werden soll. Die Drohne startet vom Boden aus und bewegt sich ausschließlich in vertikaler Richtung (also senkrecht nach oben bzw. nach unten). Die Abbildung zeigt den Graphen der Vertikalgeschwindigkeit v bis zu dem Zeitpunkt, an dem die Drohne ihre Zielhöhe erreicht hat, aus der sie die Fotos schießen soll.
    graphik
    Ermittle anhand der Abbildung:
    die Zielhöhe der Drohne:
     
    m
    die Gesamtlänge der Strecken, die die Drohne insgesamt zurückgelegt hat:
     
    m
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird das bestimmte Integral geometrisch interpretiert?
#566
Das bestimmte Integral mit der Integrandenfunktion f und den Integrationsgrenzen a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen Gf und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Wie kann man die Fläche zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall abschätzen und welche Fachbegriffe sind dabei relevant?
#568
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch Unter- und Obersumme (Un bzw. On) abgeschätzt werden (Streifenmethode).
  • Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
  • Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
  • Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:

Un ≤ A ≤ On

Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
 
dx
Was ist eine Integralfunktion und welche Eigenschaften hat sie?
#567
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine Integralfunktion Ia die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. Ia besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
  • mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
  • sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
graphik

\(I(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt\)

Welche Aussage ist richtig, welche falsch?

  • \(I\) ist im Intervall \( [3;+\infty[ \) streng monoton zunehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) streng monoton abnehmend.
  • \(I\) ist im Intervall \( [0;2]\) nicht negativ.
  • \(I\) hat die stärkste Zunahme bei \(x=2\).
  • \(I\) besitzt ein relatives Maximum bei \(x=1\).
Wie wird die Gesamtänderung einer Größe G(t) bei bekannter Änderungsrate G'(t) berechnet?
#1377

Manchmal ist im Sachzusammenhang nur die zeitliche Änderungsrate G'(t) einer Größe G(t) bekannt. Oft ist dann für zwei gegebene Zeitpunkte a und b von Interesse, welche Gesamtänderung ΔG = G(b) - G(a) die Größe G innerhalb der durch [a; b] gegebenen Zeitspanne aufweist.

Die Gesamtänderung kann in diesem Fall als Integral über G'(t) mit Untergrenze a und Obergrenze b berechnet werden und entspricht graphisch der Flächenbilanz der im Intervall [a; b] von der t-Achse und dem Graphen von G' begrenzten (und positiv bzw. negativ orientierten) Flächen.

Beispiel 1
In einer Fertigungshalle bewegt sich ein Roboter auf geradlinigen Schienen nach rechts oder links. Für einen bestimmten Fertigungsschritt muss der Roboter seine Position 
x
 
t
 wie in der folgenden Abbildung dargestellt ändern:
graphik
Dabei ist 
v
 
t
 die Änderungsrate der Roboterposition in 
m
s
 und t die Zeit seit Beginn des Fertigungsschritts in Sekunden. Positive Werte von v stehen für Bewegungen nach rechts, negative für Bewegungen nach links. Zu Beginn steht der Roboter 
3
 
m
 vom linken Ende der Schienen entfernt.
Bestimme die Endposition des Roboters und die von ihm insgesamt zurückgelegte Strecke.
Beispiel 2
An einem Flüssiggasterminal wird ein voll beladener LNG-Tanker innerhalb von 20 Stunden vollständig entladen. Der Vorgang wird näherungsweise durch die in ℝ definierte Funktion R mit  
R
 
x
=
x
−
10
4
−
10000
 modelliert. Dabei ist 
x
 
∈
 
[0;
 
20]
 die Zeit in Stunden ab dem Beginn der Entladung und 
R
 
x
 die Entladerate in Kubikmetern pro Stunde.
Berechne im Rahmen dieses Modells die Ladekapazität des LNG-Tankers.