3.3 Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot, Matheübungen

Symmetrie - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Rufe dir ins Gedächtnis, wo alle Punkte liegen, die von einem bestimmten Ort einen bestimmten Abstand besitzen. Vielleicht hilft dir dann die Skizze eines Beispiels mit fünf Bauernhöfen und einige Hilfslinien, die du einzeichnest.
  • Die kürzeste Entfernung eines Punktes P zu …
    • … einem anderen Punkt Q misst man entlang der Strecke von P nach Q.
    • … einer Geraden g misst man entlang des Lots zu g durch P.
    Punkte mit gleicher Entfernung zu …
    • … zwei Punkten A und B liegen auf der Mittelsenkrechten von A und B.
    • … zwei sich schneidenden Geraden g und h liegen auf den beiden Winkelhalbierenden von g und h.
    Punkte mit einem bestimmten Abstand d zu …
    • … einem Punkt A liegen auf dem Kreis um A mit Radius d.
    • … einer Geraden g liegen auf den beiden Parallelen zu g im Abstand d.

Gesucht ist ein Gebiet auf einer Landkarte. Wie sieht es aus?

  • In Bayern müssen neu gebaute Windenergieanlagen ("Windräder") mindestens ihre zehnfache Höhe von Wohngebäuden entfernt sein. In einem Gebiet mit fünf vereinzelten Bauernhöfen soll ein neues Windrad gebaut werden. Wie könnte auf einer Landkarte das Gebiet (grün markiert) aussehen, in dem der Neubau erlaubt wäre? Wähle die beiden passenden Möglichkeiten aus und begründe deine Antwort.  
     
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    Begründung: Das neue Windrad muss sich …
    … außerhalb von fünf Kreisen mit gleichem Radius, aber unterschiedlichen Mittelpunkten befinden.
    … innerhalb von fünf Kreisen mit gleichem Radius, aber unterschiedlichen Mittelpunkten befinden.
    … außerhalb von fünf Kreisen mit unterschiedlichen Radien befinden.
    … jenseits einer Mittelsenkrechten und außerhalb von mehreren Kreisen befinden.
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Welche einzigartige Eigenschaft besitzen Punkte auf der Symmetrieachse bezüglich eines Punkts P und seines Spiegelpunkts P´?
#385
Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. D.h.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und A ein beliebiger Punkt der Achse, so ist dieser zu P und P´gleich weit entfernt.
  • sind P und P´ zueinander achsensymmetrische Punkte und von A gleich weit entfernt, so muss A auf der Spiegelachse liegen.
Beispiel 1
Ein Winkel soll halbiert werden.
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Beispiel 2
(A) Von P aus soll ein Lot auf g gefällt werden (P ∉ g).
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(B) Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden (P ∈ g).
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Wie bestimmt man die Entfernung von einem Punkt zu einer Geraden und die Lage von Punkten mit gleicher oder bestimmter Entfernung zu geometrischen Objekten?
#824
Die kürzeste Entfernung eines Punktes P zu …
  • … einem anderen Punkt Q misst man entlang der Strecke von P nach Q.
  • … einer Geraden g misst man entlang des Lots zu g durch P.
Punkte mit gleicher Entfernung zu …
  • … zwei Punkten A und B liegen auf der Mittelsenkrechten von A und B.
  • … zwei sich schneidenden Geraden g und h liegen auf den beiden Winkelhalbierenden von g und h.
Punkte mit einem bestimmten Abstand d zu …
  • … einem Punkt A liegen auf dem Kreis um A mit Radius d.
  • … einer Geraden g liegen auf den beiden Parallelen zu g im Abstand d.