3.4 Rechnen mit verknüpften Funktionen in Kombination mit ln, Matheübungen

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Hilfe
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Funktion f mit  
    f
     
    x
    =
    2
     
    ln
     
    x
    +
    1
    x
      und maximalem Definitionsbereich 
    D
    f
    . Der Graph von f wird mit 
    G
    f
     bezeichnet.
    a) Gib 
    D
    f
     an.
    b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
    c) Berechne alle Nullstellen von f.
    d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
    G
    f
    .
    e) Berechne f(5) und zeichne 
    G
    f
     auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
    0
     
    <
     
    x
     
    ≤
     
    7
    .
    f) Gib die Wertemenge von f an.
    Schritt 1/8
    Zu a)
    Maximale Definitionsmenge:
     
    D
    f
    =
    ℝ
     
    D
    f
    =
    ℝ
    +
     
    D
    f
    =
    ℝ
    +
    0
     
    D
    f
    =
    ℝ
    −
     
    D
    f
    =
    ℝ
    −
    0
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Beispiel
Gegeben ist die Funktion f mit  
f
 
x
=
 
e
·
ln
 
x
x
2
  und maximalem Definitionsbereich 
D
f
. Der Graph von f wird mit 
G
f
 bezeichnet.
a) Gib 
D
f
 an.
b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
c) Berechne alle Nullstellen von f.
d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
G
f
.
e) Berechne f(8) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
0
 
<
 
x
 
≤
 
8
.
f) Gib die Wertemenge von f an.
Beispiel
f
 
x
=
x
·
e
−
x
x
+
1
Bestimme
  • die maximale Definitionsmenge Dmax
  • die Nullstelle(n)
  • das Verhalten von f an den Rändern von Dmax
  • das Monotonieverhalten von f und die relativen Extrempunkte
Skizziere schließlich den Graphen von f unter Einbezug aller Teilergebnisse.