3.6 Vektoren um 90° drehen, Matheübungen

Drehung - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse) - 11 Aufgaben in 2 Levels

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    Dreht man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn \((\varphi=+90^\circ)\) um das Zentrum \(Z\), so wird er auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Für die Vektorkoordinaten gilt:

    \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -1\\5 \end{pmatrix}\)

    Dreht man hingegen um \(90^\circ\) mit dem Uhrzeigersinn \((\varphi=-90^\circ)\), so gilt:

    \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} y\\-x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\)

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Gegeben sind die Punkte \(Z\) und \(P\), sowie der Drehwinkel \(\varphi\). Bestimme rechnerisch \(\overrightarrow{ZP}\), \(\overrightarrow{ZP'}\) sowie \(P'\).
    • \(Z\left(2|3\right),\,P\left(5|4\right),\,\varphi=+90^\circ\)

    \(\overrightarrow{ZP}=\;\)
    , \(\overrightarrow{ZP'}=\;\)
    , \(P'\)(|)
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Stoff zum Thema
Wie verändern sich die Koordinaten eines Vektors bei einer Drehung um 90°?
#1476

Dreht man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn \((\varphi=+90^\circ)\) um das Zentrum \(Z\), so wird er auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Für die Vektorkoordinaten gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -1\\5 \end{pmatrix}\)

Dreht man hingegen um \(90^\circ\) mit dem Uhrzeigersinn \((\varphi=-90^\circ)\), so gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} y\\-x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\)

Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\) und \(P\), sowie der Drehwinkel \(\varphi\). Bestimme rechnerisch \(\overrightarrow{ZP}\), \(\overrightarrow{ZP'}\) sowie \(P'\).

\(Z\left(1|2\right),\,P\left(3|4\right),\,\varphi=90^\circ\)