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4.6 Modellieren von Wachstumsprozessen, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)
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Die folgende Tabelle enthält die in Deutschland registrierten Corona-Infektionen im Zeitraum 29. Okt 2021 bis 15. Apr 2022.
29. Okt
4.577.488
05. Nov
4.733.479
12. Nov
4.974.112
19. Nov
5.293.087
26. Nov
5.695.206
03. Dez
6.097.477
10. Dez
6.463.737
17. Dez
6.757.593
24. Dez
6.982.228
31. Dez
7.176.448
07. Jan
7.458.396
14. Jan
7.885.229
21. Jan
8.535.962
28. Jan
9.524.101
04. Feb
11.778.829
11. Feb
12.196.991
18. Feb
13.360.578
25. Feb
14.504.151
04. Mär
15.579.480
11. Mär
16.881.948
18. Mär
18.424.575
25. Mär
20.018.465
01. Apr
21.459.975
08. Apr
22.534.061
15. Apr
23.365.504
Quelle: statista.com
a) Entwickle mithilfe des ersten und letzten Datensatzes eine exponentielle Modellfunktion f(x) mit
x
=
Anzahl der Wochen seit dem 29. Okt 2021.
b) Stelle der exponentiellen Modellfunktion eine lineare Modellfunktion g(x) gegenüber (aus denselben zwei Datensätzen gewonnen).
c) Kopiere die Tabellenwerte in ein Tabellenkalkulationsprogramm und erstelle auf dieser Grundlage ein Diagramm, das die tatsächliche Entwicklung der Infektionszahlen, die exponentielle und die lineare Modellierung (als Funktionsgraph) wiedergibt.
Schritt 1/4
Wenn der 29. Okt 2021 der Woche
x
=
0
entspricht, dann entspricht der 15. April 2022 der Woche
x
=
.
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
Euro
?
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · a
x
heißen
Exponentialfunktionen
. Dabei ist
a > 0 der Wachstumsfaktor und
b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
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