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4.6 Modellieren von Wachstumsprozessen, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)
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Beachte: Wenn eine Größe
um
20% abnimmt, dann besitzt sie nach der Abnahme 80% des Ursprünglichen Wertes, ist also 0,8 mal so groß wie vorher;
um
20% zunimmt, dann besitzt sie nach der Zunahme 120% des Ursprünglichen Wertes, ist also 1,2 mal so groß wie vorher.
Beispielaufgabe
+Video
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · a
x
heißen
Exponentialfunktionen
. Dabei ist
a > 0 der Wachstumsfaktor und
b = f(0) der Anfangsbestand
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Runde auf ganze Prozent.
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Eine Population ist innerhalb von 7 Jahren um 50% angewachsen. Um wie viel Prozent wuchs sie jährlich?
Um ca.
Prozent.
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Stoff zum Thema (+Video)
Was bleibt beim exponentiellen Wachstum gleich und wie geht man bei typischen Fragestellungen vor?
#724
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
Euro
?
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Was ist der allgemeine Term einer Exponentialfunktion und welche Bedeutung haben die Parameter?
#350
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · a
x
heißen
Exponentialfunktionen
. Dabei ist
a > 0 der Wachstumsfaktor und
b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
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