5.2 Untersuchung gebrochen-rationaler Funktionen, Matheübungen

Quotientenregel und Funktionsuntersuchungen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Bestimme zunächst die Ableitung.

Besitzt der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente und wenn ja wo? Gib "!" ein, wenn es keine solche Stelle gibt. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • f
     
    x
    =
    2
    −
    x
    x
    −
    1
        
    D
    f
    =
    ℝ \
     
    {
     
    1
     
    }
    x
     
    ≈
     
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    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wie bestimmt man die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Graphen?
#480
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
Was sind die wesentlichen Aspekte einer vollständigen Funktionsuntersuchung?
#481
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.
a)
    
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
b)
    
f
 
x
=
0,5x
−
3
+
2
x
−
1
Hinweis: b) ohne Wendpunkt, Krümmung und Wertemenge