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7.5 Anwendungen des Vektorprodukts, Matheübungen
- Lehrwerk Lambacher Schweizer
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Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen V
Spat
zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
Vierseitiges Prisma = Spat (V
4-stg.Prisma
= V
Spat
)
Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V
3-stg.Prisma
= ½ V
Spat
)
Vierseitige Pyramide (V
4-stg.Pyr
= 1/3 V
Spat
)
Dreiseitige Pyramide (V
3-stg.Pyr
= 1/6 V
Spat
)
Beschreibe in mehreren Teilschritten, wie man ...
… den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC ermittelt.
Zur Lösung dieser Aufgabe …
?
reicht ein Vektor, z.B. der Verbindungsvektor von A und B aus.
benötigt man zwei Vektoren, z.B. die Verbindungsvektoren von A und B sowie von A und C.
braucht man drei Verbindungsvektoren, also den von A und B, den von A und C sowie den von B und C.
Als nächstes berechnet man den Vektor, der sich aus …
?
dem Vektorprodukt dieser Vektoren ergibt.
dem Skalarprodukt dieser Vektoren ergibt.
der Summe dieser Vektoren ergibt.
dem Doppelten dieses Vektors ergibt.
Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich, indem man für diesen Vektor …
?
den Betrag bestimmt und anschließend verdoppelt.
den Gegenvektor bestimmt und anschließend halbiert.
den Betrag bestimmt und anschließend halbiert.
den Gegenvektor bestimmt und anschließend verdoppelt.
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Stoff zum Thema
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren
a
,
b
und
c
aufgespannten Prismas mit
a
=
1
2
−
1
,
b
=
2
−
3
5
und
c
=
2
0
3
.
Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen V
Spat
zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
Vierseitiges Prisma = Spat (V
4-stg.Prisma
= V
Spat
)
Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V
3-stg.Prisma
= ½ V
Spat
)
Vierseitige Pyramide (V
4-stg.Pyr
= 1/3 V
Spat
)
Dreiseitige Pyramide (V
3-stg.Pyr
= 1/6 V
Spat
)
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