9.5 Problemlösen mit der Binomialverteilung, Matheübungen

- Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe

  • Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

    • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
    • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
    • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

    Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

    • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
    • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
    • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

    Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme das sichere Ergebnisintervall

  • Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
    Gib ein Intervall an, in dem sicher 99% der Werte von X liegen.
     
    ≤ X ≤
     
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit P(X=r) in einer Bernoulli-Kette der Länge n?
#703

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-r
Beispiel
Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?
Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten der Form P(Z≤k) und P(Z>k)?
#509

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel 1
Eine Urne enthält eine weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie oft musst du mindestens eine Kugel (mit Zurücklegen) ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2-mal "weiß" zu ziehen?
Antwort: mindestens ?-mal
Beispiel 2
Die Verarbeitung von Bauteilen wird als "sehr gut" bezeichnet, wenn man in einer Stichprobe von 100 Stück mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 96% maximal 3 defekte Bauteile findet. Wie hoch darf der Anteil an defekten Bauteilen maximal sein?
Antwort:
 
? % (gerundet auf eine Dezimale)
Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?
#706

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

  • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
  • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
  • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

  • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
  • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
  • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.
Beispiel
P
14
0,78
 
X > k
 
>
 
0,95
Für welche Werte von k gilt diese Ungleichung?