Gebrochen-rationale Funktionen - waagrechte und schräge Asymptoten - Aufgaben

Verhalten von f(x) für x→±∞; Bestimmung der Gleichung von waagrechten und schrägen Asymptoten

Welcher der angegebenen Funktionsterme f(x) passt allein zum abgebildeten Graphen? Die Frage lässt sich auch ohne Beschriftung der Achsen beantworten (x- und y-Achse haben wie üblich dieselbe Einheit).

  • graphik
     
    1
    −
    2x
    2
    x
    +
    2
         
     
    1
    −
    2x
    x
    3
    +
    1
         
     
    −
    x
    −
    1
    x
    +
    2
         
     
    1
    −
    2x
    x
    +
    1
    Bemerkung: Die Aufgabe kann auch ohne Beschriftung des KOSY gelöst werden.
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Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form p(x)/q(x) vor, so kann man anhand des Zählergrads z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und des Nennergrads n erkennen, ob der Graph eine waagrechte oder schräge Asymptote besitzt.
  • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
  • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
  • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
  • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form mx+t+b(x) vor, wobei b(x) ein Bruchterm ist, der für betragsmäßige große x-Werte gegen 0 strebt, so ist y=mx+t die Gleichung der Asymptoten.
Beispiel
Liegen waagrechte/schräge Asymptoten vor? Wenn ja, bestimme deren Gleichung.
f
 
x
=
2x
2
3x
−
1
2
g
 
x
=
2x
2
·
1
−
x
3x
−
1
h
 
x
=
2x
3x
−
1
2
i
 
x
=
2x
2
3x
−
1
Beispiel
f
 
x
=
3x
−
2
·
x
−
1
2x
Forme den Funktionsterm in eine Summe um und gib dann die Gleichung der schrägen Asymptote an.