Gebrochen-rationale Funktionen - waagrechte und schräge Asymptoten, Matheübungen

Verhalten von f(x) für x→±∞; Bestimmung der Gleichung von waagrechten und schrägen Asymptoten

Hilfe
  • Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form p(x)/q(x) vor, so kann man anhand des Zählergrads z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und des Nennergrads n erkennen, ob der Graph eine waagrechte oder schräge Asymptote besitzt.
    • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
    • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
    • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
    • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
    Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form mx+t+b(x) vor, wobei b(x) ein Bruchterm ist, der für betragsmäßige große x-Werte gegen 0 strebt, so ist y=mx+t die Gleichung der Asymptoten.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Gib die Gleichung der Asymptote in der Form y=m·x+t an, sofern es sich um eine waagrechte oder schräge Asymptote handelt. Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" ein. Falls keine waagrechte oder schräge Asymptote vorliegt, gib "!" ein.

  • f
     
    x
    =
    2x
    +
    1
    x
    −
    x
    2
    Gleichung der Asymptote:
    y
    =
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Wie erkennt man bei gebrochen-rationalen Funktionen die Asymptoten des Graphen?
#326
Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form p(x)/q(x) vor, so kann man anhand des Zählergrads z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und des Nennergrads n erkennen, ob der Graph eine waagrechte oder schräge Asymptote besitzt.
  • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
  • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
  • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
  • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
Liegt eine gebrochen-rationale Funktion in der Form mx+t+b(x) vor, wobei b(x) ein Bruchterm ist, der für betragsmäßige große x-Werte gegen 0 strebt, so ist y=mx+t die Gleichung der Asymptoten.
Beispiel
Liegen waagrechte/schräge Asymptoten vor? Wenn ja, bestimme deren Gleichung.
f
 
x
=
2x
2
3x
−
1
2
g
 
x
=
2x
2
·
1
−
x
3x
−
1
h
 
x
=
2x
3x
−
1
2
i
 
x
=
2x
2
3x
−
1
Beispiel
f
 
x
=
3x
−
2
·
x
−
1
2x
Forme den Funktionsterm in eine Summe um und gib dann die Gleichung der schrägen Asymptote an.

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