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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
    • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
    • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
    • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
    • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
    • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
    • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
    Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.

Bestimme so genau wie möglich.

P(2|-1|0)
 
liegt auf bzw. in der
 
x
1
Achse
 
   
 
x
2
Achse
 
   
 
x
3
Achse
x
1
 
x
2
Ebene
 
   
 
x
1
 
x
3
Ebene
 
   
 
x
2
 
x
3
Ebene
 
graphik
  • Nebenrechnung

Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind.

Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
3
 
und
 
b
=
1
4
7
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
graphik
Die orangen Pfeile veranschaulichen die Linearkombination
 
AM
+
MS
+
SD
 
,
der grüne Pfeil das Ergebnis, d.h.
 
AM
+
MS
+
SD
=
AD
   
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
1
2
 
AC
+
MS
DS
=
AD
DS
 
ist gleichbedeutend mit
 
+
DS
 
also der Addition des Gegenvektors.