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Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren, Mathe-Übungen
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren, Linearkombination und Länge von Vektoren
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Skizze:
Die Grundfläche ist ein Parallelogramm
A( 2 | -3 | 1 )
B( 2| 2 | 1 )
C( -2 | 4 | 0 )
S( -1 | 0,5| 4,5 )
Höhe
MS
≈
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
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+
-
*
:
/
√
^
∞
<
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Ein Punkt
P(p
1
| p
2
| p
3
)
im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
auf der x
1
-Achse, wenn p
2
= p
3
= 0
auf der x
2
-Achse, wenn p
1
= p
3
= 0
auf der x
3
-Achse, wenn p
1
= p
2
= 0
in der x
1
x
2
-Ebene, wenn p
3
= 0
in der x
1
x
3
-Ebene, wenn p
2
= 0
in der x
2
x
3
-Ebene, wenn p
1
= 0
Punkte auf der x
1
-Achse liegen erst recht in der x
1
x
2
-Ebene und in der x
1
x
3
-Ebene. Für Punkte auf der x
2
-Achse und auf der x
3
-Achse gilt dies analog.
Spiegelung von P(p
1
| p
2
| p
3
) an der...
x
1
-Achse ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| −p
3
)
x
2
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| −p
3
)
x
3
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
1
x
2
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| p
2
| −p
3
)
der x
1
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
2
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| p
3
)
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
a
=
5
−
3
und
b
=
1
4
7
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also
b
1
− a
1
b
2
− a
2
b
3
− a
3
Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
Die orangen Pfeile veranschaulichen die Linearkombination
AM
+
MS
+
SD
,
der grüne Pfeil das Ergebnis, d.h.
AM
+
MS
+
SD
=
AD
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
1
2
AC
+
MS
−
DS
=
AD
−
DS
ist gleichbedeutend mit
+
−
DS
also der Addition des Gegenvektors.
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