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Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren, Matheübungen
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren und deren Länge
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Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 41.
Gib die Längen und gefragte Punkte des Quaders ABCDEFGH an.
A( -1 | 2 | -5 ); B( -1 | 7 | -5); G( -6 | 7 | -1)
C(
|
|
)
H(
|
|
)
AB
=
;
AD
=
;
AE
=
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/
√
^
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Stoff zum Thema
Wie lauten die Koordinaten der Spiegelpunkte von P(p1 | p2 | p3) an den Achsen und Ebenen des Koordinatensystems?
#443
Spiegelung von P(p
1
| p
2
| p
3
) an der...
x
1
-Achse ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| −p
3
)
x
2
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| −p
3
)
x
3
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
1
x
2
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| p
2
| −p
3
)
der x
1
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
2
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| p
3
)
Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
#446
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
a
=
5
−
3
und
b
=
1
4
7
Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors von Punkt A nach Punkt B?
#444
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also
b
1
− a
1
b
2
− a
2
b
3
− a
3
Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Wie erkennt man die Lage eines Punktes P(p1 | p2 | p3) bezüglich der Achsen und Ebenen im Koordinatensystem?
#442
Ein Punkt
P(p
1
| p
2
| p
3
)
im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
auf der x
1
-Achse, wenn p
2
= p
3
= 0
auf der x
2
-Achse, wenn p
1
= p
3
= 0
auf der x
3
-Achse, wenn p
1
= p
2
= 0
in der x
1
x
2
-Ebene, wenn p
3
= 0
in der x
1
x
3
-Ebene, wenn p
2
= 0
in der x
2
x
3
-Ebene, wenn p
1
= 0
Punkte auf der x
1
-Achse liegen erst recht in der x
1
x
2
-Ebene und in der x
1
x
3
-Ebene. Für Punkte auf der x
2
-Achse und auf der x
3
-Achse gilt dies analog.
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