Bruchgleichungen, Matheaufgaben

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben

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Löse die Bruchgleichung. Brüche sind in der Form a/b anzugeben.

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Bruchgleichungen einfach erklärt – einfache Bruchgleichung lösen

Kanal: MathemaTrick

Wie löst man Bruchgleichungen der Form a / b = c / d am einfachsten?

#1127

Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man am einfachsten durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Beispiel

Löse die Gleichung:

Wie macht man eine Bruchgleichung nennerfrei und was sollte man beachten?

#222

Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel 1

Löse die Gleichung:

−

Beispiel 2

−

Warum müssen bei Bruchgleichungen bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden?

#218

Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.

Beispiel

Welche x-Werte gehören bei folgender Gleichung nicht zur Grundmenge?

−

Wie liest man die Lösungen einer Bruchgleichung b<sub>1</sub>(x) = b<sub>2</sub>(x) aus einem Diagramm ab?

#223

Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b₁ und b₂ schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b₁(x) = b₂(x).

Beispiel

Gegeben sind die Funktionen

−

und

−

Ermittle die Schnittpunkte der zugehörigen Graphen.

Welche Überprüfungen sind nach der Umformung einer Bruchgleichung notwendig?

#219

Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:

Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)

Wie lautet die Lösung der Gleichung 1/x = a?

#217

Die Bruchgleichung 1/x=a (anders ausgedrückt x⁻¹=a) hat für alle a≠0 die Lösung 1/a (Kehrbruch). Für a=0 gibt es dagegen keine Lösung.

Beispiel

Löse die Gleichung.

−

Wie löst man eine Bruchgleichung, wenn x nur im Nenner eines Bruchs vorkommt?

#1076

Kommt in einer Bruchgleichung nur ein Bruch mit x im Nenner vor, so multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchs. Durch anschließendes Kürzen erhält man eine vereinfachte (nennerfreie) Gleichung.

Beispiel

Wandle in eine nennerfreie Gleichung um und vereinfache diese:

−

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