Drehung mit Vektoren, Matheaufgaben

Zweidimensionale Vektoren speziell um 90°, 180° und beliebig drehen; Drehung von Punkten mit Hilfe von Vektoren - 36 Aufgaben in 6 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 8 in Level 5
  • Der Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) wird durch eine Drehung um den Winkel \(\varphi\) auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Ermittle jeweils aus den gegebenen Informationen die noch fehlenden Bestandteile.
    • \(Z\left(3|2\right),\;A\left(-2|-1\right),\;\varphi=180^\circ\)

    \(\overrightarrow{ZA}=\;\)
    , \(\overrightarrow{ZA'}=\;\)
    , \(A'\)(|)
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Stoff zum Thema
Wie verändern sich die Koordinaten eines Vektors bei einer Drehung um 90°?
#1476

Dreht man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn \((\varphi=+90^\circ)\) um das Zentrum \(Z\), so wird er auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) abgebildet. Für die Vektorkoordinaten gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} -1\\5 \end{pmatrix}\)

Dreht man hingegen um \(90^\circ\) mit dem Uhrzeigersinn \((\varphi=-90^\circ)\), so gilt:

\(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} y\\-x \end{pmatrix}\), also zum Beispiel \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}\)

Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\) und \(P\), sowie der Drehwinkel \(\varphi\). Bestimme rechnerisch \(\overrightarrow{ZP}\), \(\overrightarrow{ZP'}\) sowie \(P'\).

\(Z\left(1|2\right),\,P\left(3|4\right),\,\varphi=90^\circ\)

Wie verändern sich die Vektorkoordinaten bei einer Drehung um 180 Grad?
#1478
Bildet man den Vektor \(\overrightarrow{ZA}\) durch eine Drehung um \(180^\circ\) auf den Vektor \(\overrightarrow{ZA'}\) ab, dann ist \(\overrightarrow{ZA'}\) der Gegenvektor von \(\overrightarrow{ZA}\).
Für die Vektorkoordinaten gilt also: \(\overrightarrow{ZA}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{ZA'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}\).
Beispiel
Gegeben sind die Punkte \(Z\left(4|3\right)\) und \(A\left(-2|2\right)\).
Bestimme \(\overrightarrow{ZA}\) sowie \(\overrightarrow{ZA'}\) und \(A'\) bei einer Drehung um \(180^\circ\).

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