e-Funktion und ln-Funktion, Matheübungen

Natürliche Exponentialfunktion - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 31 Aufgaben in 7 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 6
  • Bestimme den Parameterwert/die Parameterwerte. Gib Brüche in der Form z/n ein.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • f
    t
     
    x
    =
    e
    tx
    −
    2tx
        
    t
     
    ≠
     
    0
    Im Punkt (2 | ?) soll 
    G
    t
     eine waagrechte Tangente haben.
    t
    =
    ·
    ln2
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie sind die Funktionen e^x und ln(x) miteinander verbunden?
#1210
ex und ln(x) kehren sich gegenseitig um. Z.B. gilt
  • e0=1 und ln(1)=0
  • e1=e und ln(e)=1
Allgemein gilt also elnx = ln(ex) = x.
Wie löst man Exponentialgleichungen der Form e^{f(x)} = b?
#859
Gleichungen der Art

ef(x) = b

löst man, indem man beide Seiten logarithmiert. Merke dir für den Spezialfall b=1, dass

ln(1)=0.

Beispiel 1
Löse ohne Taschenrechner.
e
2
−
5x
=
1
 
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
e
2x
−
1
=
7
.
Beispiel
x
2
·
e
x
+
1
−
3e
x
=
0
Wie lautet die Gleichung der Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a e^(kx) + b?
#704
Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.
Beispiel
f
t
 
x
=
e
x
3
−
x
+
t
Bestimme den Parameterwert t so, dass die Tangente an 
G
t
 im Punkt (1 | ?) die Steigung 
1
4
 hat.
Wie lauten die Ableitungen der Exponentialfunktion und der natürlichen Logarithmusfunktion?
#518
f (x) = ex ⇒ f ´ (x) = ex
f (x) = ln(x) ⇒ f ´ (x) =1/x