exp - Graph, Ableitung und Grenzwerte, Matheübungen

Produkt- und Kettenregel, Grenzwert von Verkettung aus exp- und ganzrationaler Funktion - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

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  • Regeln zur Transformation von Graphen

    Der Graf einer Funktion f wird
    • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)

    • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)

    • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b

Der Graph gehört zu einer Exponentialfunktion mit einer Gleichung der Form

f(x) = a·ek·x + b.

a und k haben hier nur die Werte +1 oder -1.

  • graphik
    a
    =
     
         (1 oder -1)
    k
    =
     
         (1 oder -1)
    b
    =
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Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)

  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)

  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b

Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist (wieder) die natürliche Exponentialfunktion.
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Spezialfall der Kettenregel:
Innere Funktion ist linear
f(x) = h(mx+c)
f´(x) = m · h´(mx+c)
Einige Ableitungen:
f(x) = ex, f´(x) = ex
f(x) = sin(x), f´(x) = cos(x)
f(x) = cos(x), f´(x) = -sin(x)
f(x) = xn, f´(x) = n xn-1
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞