exp - Graph, Ableitung und Grenzwerte, Matheübungen

Produkt- und Kettenregel, Grenzwert von Verkettung aus exp- und ganzrationaler Funktion - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 57 Aufgaben in 11 Levels

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    Regeln zur Transformation von Graphen

    Der Graf einer Funktion f wird
    • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)
    • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)
    • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Gib die zu den Graphen passenden Funktionsterme an.

    • \(f(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-0}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^{\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}x}\)

    \(g(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\class{mathjax-input mathjax-input-4}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^{\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-5}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}x}\)

    \(h(x)=\class{mathjax-input mathjax-input-6}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\class{mathjax-input mathjax-input-7}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}e^{\displaystyle\class{mathjax-input mathjax-input-8}{\mspace{3mu}\Rule{2.3em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}x}\)

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Wie bewirkt man durch Änderung des Funktionsterms eine Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse sowie eine Verschiebung in y-Richtung?
#697

Regeln zur Transformation von Graphen

Der Graf einer Funktion f wird
  • ... an der x-Achse gespiegelt: Minus vor den Term, d.h. g(x) = - f(x)
  • ... an der y-Achse gespiegelt : x durch (-x) ersetzen, d.h. g(x) = f(-x)
  • ... um b in y-Richtung verschoben: b zum Term addieren, d.h. g(x) = f(x) +b
Wie lautet die Gleichung der Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a e^(kx) + b?
#704
Asymptote bei Exponentialfunktionen vom Typ f(x) = a ekx+b
  • Die Gleichung der Asymptote lautet y = b.
  • Wenn k positiv ist, schmiegt sich der Graph von f nach links an die Asymptote.
  • Wenn k negativ ist, schmiegt sich der Graph von f nach rechts an die Asymptote.
Was ist die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion?
#1208
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion ist (wieder) die natürliche Exponentialfunktion.
Was besagt die Produktregel in der Differentialrechnung?
#330
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Wie funktioniert die Ableitung bei verketteten Funktionen und speziellen Funktionen?
#705
Spezialfall der Kettenregel:
Innere Funktion ist linear
f(x) = h(mx+c)
f´(x) = m · h´(mx+c)
Einige Ableitungen:
f(x) = ex, f´(x) = ex
f(x) = sin(x), f´(x) = cos(x)
f(x) = cos(x), f´(x) = -sin(x)
f(x) = xn, f´(x) = n xn-1
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞