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exp und ln - Grenzwertbetrachtungen, Matheübungen
Verhalten für x → ∞ und für x → x
0
bei Funktionen, die sich u.a. aus exp oder ln zusammensetzen
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Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und x
n
gegen 0
für x → 0
+
strebt das Produkt aus ln(x) und x
n
gegen 0
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme. Aktiviere die Tastatur für Sonderzeichen, um "∞" eingeben zu können. Gib "!" ein, falls der Limes nicht existiert.
lim
x → ∞
ln
x
x
−
1
=
Notizfeld
Notizfeld
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+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
für x → −∞ strebt das Produkt aus e
x
und x
n
gegen 0
für x → ∞ strebt der Quotient aus x
n
und e
x
gegen 0
für x → ∞ strebt die Differenz aus e
x
und x
n
gegen ∞
Beispiel
lim
x → −∞
e
−
x
·
x
x
2
−
1
=
?
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und x
n
gegen 0
für x → 0
+
strebt das Produkt aus ln(x) und x
n
gegen 0
Beispiel
lim
x → ∞
ln
1
x
x
−
x
2
=
?
Wie verhält sich die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
#552
ln(x) strebt
gegen −∞ für x → 0
+
gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → −∞
ln
1
−
x
2
x
+
1
=
?
Wie verhält sich die Exponentialfunktion exp(x) für x gegen plus oder minus unendlich?
#551
e
x
strebt
gegen 0 für x → −∞
gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1
+
e
x
−
2
1
−
x
=
?
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