Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:
Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).
Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:
Randextrema:
Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:
Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).
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