Funktionale Abhängigkeit - Längen und Flächen, Matheübungen

Funktionale Abhängigkeit im Koordinatensystem: Änderungen des Flächeninhalts durch Verlängern/Verkürzen von Seiten etc. - 15 Aufgaben in 6 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 1 in Level 6
  • Verlängern-verkürzen.
  • Zwischenschritte aktiviert
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    • Gegeben ist das gleichschenklige Trapez ABCD mit den Grundseiten 
    AB
     und 
    CD
    .
     Es gilt: 
    AB
     
    ||
     
    CD
    ,
        
    AB
    =
    10 cm,
        
    CD
    =
    5 cm
        und 
    h
    =
    4 cm.
     
    Es entstehen neue Trapeze 
    A
    n
    B
    n
    CD,
     wenn man 
    AB
     von A und B aus um jeweils 
    0,5x cm
     verkürzt und gleichzeitig die Höhe h nur nach unten um 
    0,5x cm
     verlängert.
    • Zeichne das Trapez ABCD und ein neues Trapez A1B1CD für x = 2.
    Für die neue Länge gilt: 
    A
    1
    B
    1
    =
     ▉ 
     
    cm
    Für die neue Höhe gilt: 
    h
    1
    =
     ▉ 
     
    cm
    • Berechne den Flächeninhalt des Trapezes ABCD sowie des Trapezes A1B1CD.
    A
    ABCD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    A
    A
    1
    B
    1
    CD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    • Welche Werte kann x annehmen? Finde die Intervallgrenzen.
     ▉ 
     
    ≤
     
    x
     
    <
     
    		 ▉ 
    • Berechne den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCD in Abhängigkeit von x.
    A
     
    x
    =
     ▉ 
    ·
     
    x
    2
    +
    		 ▉ 
     
    ·
    x
    +
    		 ▉ 
     
    cm
    2
    • Unter den Trapezen AnBnCD hat das Trapez A0B0CD den größten Flächeninhalt. Berechne den zugehörigen Wert für x und gib den maximalen Flächeninhalt an.
    A
    max
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
        
        
    für x
    =
    		 ▉ 
    • Berechne für welchen Wert von x das Rechteck A2B2CD entsteht und gib seinen Flächeninhalt an.
    x
    =
    		 ▉ 
    A
    A
    2
    B
    2
    CD
    =
     ▉ 
     
    cm
    2
    Schritt 1 von 11
    Zeichne das ursprüngliche Trapez und das neue Trapez für 
    x
    =
    2
     in dein Heft. Für die Seitenlängen des neuen Trapezes gilt:
    Neue Länge 
    A
    1
    B
    1
    =
     
    cm
    Neue Höhe 
    h
    1
    =
     
    cm
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Stoff zum Thema
Wie berechnet man die neue Länge einer Strecke a, wenn sie um x verlängert oder verkürzt wird?
#688
Verändert sich die Länge einer Seite \(a\) um den Parameter \(x,\) so unterscheidet man die beiden Fälle:
  • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verlängert, so beträgt die neue Länge \( a+x.\)
  • wird die Strecke \(a\) um \(x\) verkürzt, so beträgt die neue Länge \(\displaystyle a-x.\)
Beispiel

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck \(\displaystyle ABC\) mit der Basis \(\displaystyle [AB]\) der Länge \(\displaystyle 6\,\mathrm{cm}\) und der Höhe \(\displaystyle h=4\,\mathrm{cm}\text{.}\) Verlängert man die Basis von \(\displaystyle A\) und von \(\displaystyle B\) aus jeweils um \(\displaystyle x\) und verkürzt zugleich die Höhe um \(\displaystyle 2x\text{,}\) so entstehen neue Dreiecke \(\displaystyle A_nB_nC_n\text{.}\)

Gib einen Term für den Flächeninhalt \(\displaystyle A(x)\) der neuen Dreiecke an und fasse ihn so weit wie möglich zusammen.

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