Geometrie - Geraden, Ebenen und Kugeln - Matheübungen und Online-Aufgaben

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 13

Berechne den Abstand von P zur Ebene E.
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P(2|-5|0)

−

d(E;P)

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Wie stellt man eine Gerade durch zwei Punkte A und B in Parameterform dar?

#591

Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.

A oder B als Aufpunkt und
den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.

Beispiel

Gib die Gerade g = AB in Parameterform an mit A(1|-1|2) und B(-2|5|5).

Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Geraden g in Parameterform liegt?

#592

Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.

Beispiel

Gegeben ist die Gerade g. \[ g: \vec{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Prüfe, ob die Punkte \( P(-1|3|5) \) und \( Q(10|-13|-1) \) auf \( g \) liegen.

Wie bestimmt man die Spurpunkte einer Geraden in Parameterform?

#593

Um den evtl. Schnittpunkt (Spurpunkt) einer Geraden mit der x₁x₂-Ebene zu bestimmen, muss man innerhalb der Geradengleichung (Parameterform) x₃ = 0 setzen.

Entsprechend setzt man x₁ = 0, um den Schnittpunkt mit der x₂x₃-Ebene zu bestimmen und x₂ = 0 für den Schnittpunkt mit der x₁x₃-Ebene.

Beispiel

Gegeben ist die Gerade g

1,5

−

1,5

−

Bestimme sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.

Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und der Richtungsvektor?

#595

Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn

sie durch den Ursprung geht und/oder
sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
sie parallel zu einer Achse verläuft oder
ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.

Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x₁₂-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.

Beispiel

Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Geraden:

−

Wie bestimmt man die Lagebeziehung zweier Geraden im Raum und wie erfolgt die rechnerische Ermittlung?

#597

Um zwei Geraden g und h hinsichtlich ihrer Lage zueinander zu untersuchen, betrachtet man zunächst ihre Richtungsvektoren.

Sind diese linear abhängig, so sind g und h identisch oder parallel zueinander. Zur Unterscheidung prüft man, ob z.B. der Aufpunkt von g auf h liegt (wenn ja:identisch, ansonsten echt parallel).
Sind die Richtungsvektoren linear unabhängig, so setzt man beide Geraden gleich und betrachtet das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, zwei unbekannte Parameter). Lässt es sich eindeutig lösen, so schneiden sich g und h in einem Punkt S. Andernfalls (unlösbar) liegen g und h windschief zueinander.

Beispiel

−

Untersuche, wie die Gerade g zu den anderen Geraden liegt.

Wie bestimmt man die Parameterform einer Ebene durch drei Punkte A, B und C?

#604

Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.

Beispiel

Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.

Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Ebene E in Parameterform liegt?

#606

Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Ebene E liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.

Beispiel

Gegeben ist die Ebene E

−

Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.

Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und die Richtungsvektoren?

#607

Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn

sie durch den Ursprung geht und/oder
sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
sie parallel zu einer Achse verläuft.

Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn E die x₁-Achse ENTHÄLT) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.

Beispiel

Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:

−

Wie bestimmt man die Lage einer Geraden zu einer Ebene und findet einen Schnittpunkt?

#613

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn der gegebene Richtungsvektor von g und der gegebene Normalenvektor von E senkrecht zueinander sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g in E ein, d.h. ersetze x₁, x₂ und x₃ in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen aus dem g-Gleichungssystem.
Löse die entstehende Gleichung, wenn möglich, nach λ auf und setze das Ergebnis in die g-Gleichung für λ ein.
Fasse zu einem Vektor zusammen, das Ergebnis entspricht S.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Wie kann man feststellen, ob zwei Ebenen parallel, senkrecht oder sich schneidend sind?

#778

Soll man nur die Lagebeziehung von zwei Ebenen ermitteln (und nicht die Schnittgerade aufstellen), so genügt es auch zu prüfen, ...

... ob die Normalenvektoren linear abhängig sind (⇒ E und F parallel). In diesem Fall kann man durch Einsetzen des Aufpunkts der einen Ebene in die andere Ebene prüfen, ob E und F echt parallel oder identisch sind.
... ob die Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen (⇒ auch E und F senkrecht zueinander).

Trifft beides nicht zu, schneiden sich die Ebenen, jedoch nicht senkrecht.

Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?

#599

Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.

Beispiel

Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?

Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?

#600

Um den Abstand eines Punktes P(p₁ | p₂ | p₃) von einer Ebene E: n₁ x₁ + n₂ x₂ + n₃ x₃ + n₀ = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:

Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n₁ p₁ + n₂ p₂ + n₃ p₃ + n₀.
Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n₁, n₂ und n₃.

Beispiel

Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E

−

Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.

#601

Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
Berechne die Entfernung zwischen P und S.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Q_λ der Geraden g verbindet.
Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.

Beispiel

Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g:

−

Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

#1451

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).

Beispiel

Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\text{:}\) \[ E_1: \; 2x + y - z - 3 = 0 \] \[ E_2: \; x - y + 2z - 1 = 0 \]

Wie können zwei Kugeln zueinander liegen und wie wird dies bestimmt?

#1466

Zwei Kugeln können sich mit einem Schnittkreis schneiden, sich in einem Punkt berühren oder sich garnicht schneiden.

Die Lage untersucht man, indem man den Abstand der beiden Mittelpunkte \(|\overrightarrow{M_1M_2}|\) mit der Summe, beziehungsweise der Differenz, der beiden Radien vergleicht:

\( |\overrightarrow{M_1M_2}| < |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| > r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln besitzen keine gemeinsamen Punkte.
\( |\overrightarrow{M_1M_2}| = |r_1-r_2| \) oder \(|\overrightarrow{M_1M_2}| = r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln berühren sich.
\( |r_1-r_2| < |\overrightarrow{M_1M_2}| < r_1 + r_2 \quad \Rightarrow \) Die Kugeln schneiden sich.

Beispiel

Ermittle die Lage der beiden Kugeln:

\(K_1: (x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 6)^2 = 4\)
\(K_2: (x_1 - 1)^2 + x_2^2 + (x_3 - 4)^2 = 1\)

Wie liegen eine Kugel und eine Ebene zueinander und wie bestimmt man den Berührpunkt oder Schnittkreis?

#1311

Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Ebene E. Der Abstand d von M zu E gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:

Im Fall d < r schneiden sich k und E, die Schnittmenge ist ein Kreis. Dessen Radius r' lässt sich mittels Pythagoras bestimmen: r²=d²+(r')²
Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf E)
Im Fall d > r haben k und E keine gemeinsamen Punkte.

Beispiel

Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(1|−4|3) und dem Radius

4,5

sowie die Ebene

−

Stelle fest, ob k und E gemeinsame Punkte besitzen. Falls ja, bestimme den Berührpunkt bzw. Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises.

Geometrie - Geraden, Ebenen und Kugeln, Matheübungen

- Basisaufgaben zur Wiederholung G9 - 80 Aufgaben in 18 Levels

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