Geometrische Orte - Randwinkelsatz, Matheübungen

Kenntnis des Randwinkelsatzes und Konstruktion des Fasskreisbogen (-paars). Bestimmung von Rand- und Mittelpunktswinkel

Hilfe
  • Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
    • Von jedem Punkt des sogenannten Fasskreisbogens erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (Randwinkel oder Umfangswinkel).
    • Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
    • Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
    • Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.

Konstruiere das Faßkreisbogenpaar, von dem aus die Sehne a unter dem Winkel γ zu sehen ist. Gib als Kontrolle die Verbindungsstrecke beider Mittelpunkte an .

  • a = 5cm, γ = 30°
    M
    1
     
    M
    2
     
    ≈     
     
    8,4 cm
     
           
     
    8,7 cm
     
           
     
    9,0 cm
     
           
     
    9,3 cm
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Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
  • Von jedem Punkt des sogenannten Fasskreisbogens erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (Randwinkel oder Umfangswinkel).
  • Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
  • Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
  • Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.

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