Koordinatengeometrie im Raum - Abstandsbestimmungen, Matheaufgaben

Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen Punkt und Gerade, zwischen Punkt und Ebene, zwischen zwei windschiefen Geraden

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Berechne den Abstand der beiden Punkte.

A(1|-3|5) und B(7|-2|-4)
d(A;B)
=

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Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?

#599

Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.

Beispiel

Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?

Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?

#600

Um den Abstand eines Punktes P(p₁ | p₂ | p₃) von einer Ebene E: n₁ x₁ + n₂ x₂ + n₃ x₃ + n₀ = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:

Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n₁ p₁ + n₂ p₂ + n₃ p₃ + n₀.
Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n₁, n₂ und n₃.

Beispiel

Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E

−

Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.

#601

Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
Berechne die Entfernung zwischen P und S.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Q_λ der Geraden g verbindet.
Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.

Beispiel

Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g:

−

Wie kann man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden g und h berechnen?

#602

Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
Wandle E in Normalenform um.
Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

Bilde den Vektor, der einen Punkt P_λ der Geraden g mit einem Punkt Q_μ der Geraden h verbindet.
Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.

Beispiel

Bestimme den Abstand der beiden Geraden g und h:

−

Beispiel

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar M_b(1-b|1+b|8). M_b ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.