Koordinatengeometrie im Raum - Abstandsbestimmungen, Matheaufgaben

Abstand zwischen zwei Punkten, zwischen Punkt und Gerade, zwischen Punkt und Ebene, zwischen zwei windschiefen Geraden - 27 Aufgaben in 6 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 4
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    • (Quelle: Aufgabe 2d aus dem Bayern-Abi 2021 B-Teil Aufgabengruppe 2)

    graphik

    Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide \(ABCDS\) mit \( A(6|0|4) \), \( B(0|6|4) \), \( C(-6|0|4) \), \( D(0|-6|4) \) und \( S(0|0|1) \) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

    Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

    Durchmesser \( \approx \;\) ▉  \(\text{cm}\)
    Schritt 1 von 4

    Betrachte die Ebene \(F\text{,} \) die durch die Punkte \(A\text{,}\) \(B\) und \(S\) geht. Ein Normalenvektor zu dieser Ebene lässt sich angeben mit:

    \(\overrightarrow{n}_F = \,\)
     
    \(1\)
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?
#599
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Koordinatenform?
#600
Um den Abstand eines Punktes P(p1 | p2 | p3) von einer Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Setze P in E ein, d.h. bestimme den Term n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0.
  2. Teile den Betrag vom Ergebnis oben durch die Länge des Normalenvektors mit den Koordinaten n1, n2 und n3.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(1|-2|6) von der Ebene E
:
2x
1
+
x
2
−
4x
3
−
9
=
0
 
?
Beispiel
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar Mb(1-b|1+b|8). Mb ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.
Wie bestimmt man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erläutere zwei Methoden.
#601
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die P enthält und senkrecht zu g verläuft (also den Richtungsvektor von g als Normalenvektor besitzt).
  2. Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
  3. Berechne die Entfernung zwischen P und S.

Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":

  1. Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Qλ der Geraden g verbindet.
  2. Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g: 
x
=
−
2
0
4
+
λ
 
1
2
−
2
?
Wie kann man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden g und h berechnen?
#602
Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
  2. Wandle E in Normalenform um.
  3. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.
Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
  1. Bilde den Vektor, der einen Punkt Pλ der Geraden g mit einem Punkt Qμ der Geraden h verbindet.
  2. Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Bestimme den Abstand der beiden Geraden g und h:
g: 
x
=
−
3
−
1
6
+
λ
·
1
−
1
0
h: 
x
=
0
0
5
+
λ
·
2
3
−
4

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