Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen - Parameterform, Matheaufgaben

Ebene durch drei Punkte, Ebene durch zwei Geraden, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Prüfe, ob die Punkte auf der Ebene liegen. Wenn ja, kreuze sie an. Evtl. liegt auch keiner der beiden Punkte drauf.

E
:

X

=
−
1

2
−
4

+
λ
·
0
2
−
5

+
μ
·
1
3
−
2

P(1|2|-3)

Q(-2|5|-17)

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Wie prüft man, ob ein Punkt P auf einer Ebene E in Parameterform liegt?

#606

Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Ebene E liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.

Beispiel

Gegeben ist die Ebene E

−

Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.

Wie bestimmt man die Parameterform einer Ebene durch drei Punkte A, B und C?

#604

Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.

Beispiel

Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung und den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene im Raum?

#614

Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.

Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:

Setze g und E gleich.
Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.

Eine Schnittpunkt liegt nur dann vor, wenn sich das Gleichungssystem im zweiten Schritt eindeutig lösen lässt. Andernfalls sind g und E parallel, und zwar

echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.

Beispiel

−

Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.

Welche besonderen Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und dem Koordinatensystem sind möglich und welche Rolle spielen dabei der Stützvektor und die Richtungsvektoren?

#607

Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn

sie durch den Ursprung geht und/oder
sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
sie parallel zu einer Achse verläuft.

Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn E die x₁-Achse ENTHÄLT) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.

Beispiel

Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:

−

Wie legen zwei Geraden in Parameterform eine Ebene fest und wie bestimmt man deren Parameterform?

#605

Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie

sich in einem Punkt schneiden:

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h oder den Schnittpunkt als Aufpunkt der Ebene verwenden sowie die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):

In diesem Fall kann man den Aufpunkt von g oder h als Aufpunkt der Ebene verwenden. Da die Richtungsvektoren beider Geraden linear abhängig sind, verwendet man den Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten beider Geraden als zweiten Richtungsvektor der Ebene.

Beispiel