Koordinatengeometrie im Raum - Kugel, Matheaufgaben

Kugelgleichung in Vektor- und Koordinatendarstellung, Lage eines Punktes (innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel), Lagebeziehung Kugel/Gerade und Kugel/Ebene, Bestimmung des Berührpunktes/ des Schnittkreises

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Vermischte Aufgaben.

  • (Quelle: Aufgabe 2d aus dem Bayern-Abi 2021 B-Teil Aufgabengruppe 2)

    graphik

    Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide \(ABCDS\) mit \( A(6|0|4) \), \( B(0|6|4) \), \( C(-6|0|4) \), \( D(0|-6|4) \) und \( S(0|0|1) \) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

    Ermitteln Sie den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

    Durchmesser \( \approx~\) \(\text{cm}\)
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keine Berechtigung
Wie liegen eine Kugel und eine Ebene zueinander und wie bestimmt man den Berührpunkt oder Schnittkreis?
#1311
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Ebene E. Der Abstand d von M zu E gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und E, die Schnittmenge ist ein Kreis. Dessen Radius r' lässt sich mittels Pythagoras bestimmen: r²=d²+(r')²
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf E)
  3. Im Fall d > r haben k und E keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(1|−4|3) und dem Radius 
r
=
4,5
 sowie die Ebene 
E:
 
x
1
−
2x
2
+
5x
3
=
0.
 Stelle fest, ob k und E gemeinsame Punkte besitzen. Falls ja, bestimme den Berührpunkt bzw. Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises.
Wie liegen eine Kugel und eine Gerade zueinander und wie bestimmt man Berühr- oder Schnittpunkte?
#1316
Gegeben ist eine Kugel k mit Mittelpunkt M und Radius r sowie eine Gerade g. Der Abstand d von M zu g gibt Aufschluss darüber, welcher der drei Fälle vorliegt:
  1. Im Fall d < r schneiden sich k und g in zwei Punkten. Die Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen von g in k.
  2. Im Fall d = r berühren sich k und E in einem Punkt (=Lotfußpunkt F des Lots von M auf g)
  3. Im Fall d > r haben k und g keine gemeinsamen Punkte.
Beispiel
Gegeben ist eine Kugel k mit dem Mittelpunkt M(-5|3|2) und dem Radius 
r
=
12
 sowie die Gerade 
g:
 
X
=
1
−
4
3
+
λ
 
1
−
2
5
.
 
Ermittle, welchen Abstand der Kugelmittelpunkt M zur Geraden g hat und bestimme, soweit vorhanden, alle gemeinsamen Punkte von k und g.
Alle Punkte X auf der Kugel mit Mitelpunkt M und Radius r haben die Eigenschaft, dass der Verbindungsvektor von M zu X die Länge r hat. Entsprechend lässt sich die Kugelgleichung formulieren.
Beispiel
Gib eine Gleichung der Kugel mit Mittelpunkt M(1|0|-2) und Radius 5 an.
Beispiel
Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(-1|3|5), C(0|3|-3) sowie die Punkteschar Mb(1-b|1+b|8). Mb ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die durch A, B und C festgelegte Ebene E berührt. Bestimme b so, dass für die Oberfläche der Kugel gilt O = 12/87· π.

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