Koordinatengeometrie im Raum - Schnittwinkel - Matheaufgaben und Online-Übungen

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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Berechne den Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren der Ebenen.
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Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:
- Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
- Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
- Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1

Bestimme den Schnittwinkel der beiden sich schneidenden Ebenen (gerundet auf eine ganze Zahl).

\(E_1:5x_1-2x_2-4x_3+4=0\)

\(E_2:\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\circ \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\right]=0 \)

Der Schnittwinkel beträgt \(\approx\) °

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Stoff zum Thema

Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?

#1451

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).

Beispiel

Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen \(E_1\) und \(E_2\text{:}\) \[ E_1: \; 2x + y - z - 3 = 0 \] \[ E_2: \; x - y + 2z - 1 = 0 \]