Koordinatengeometrie im Raum - Skalarprodukt und Vektorprodukt, Matheaufgaben

Berechnung von Skalarprodukt, Winkel, Vektorprodukt zweier Vektoren, Anwendungen (Orthogonalität, Dreiecksflächen, Spatvolumen, Pyramidenvolumen etc.)

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Berechne das Skalarprodukt. Evtl. auftretende Brüche/gemischte Zahlen in der Form "a/b" , "-a/b" bzw. "a b/c" eingeben.

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Skalarprodukt und Vektorprodukt

Kanal: Mathegym

Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren und welche Art von Ergebnis liefert es?

#616

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl (kein Vektor!).

Definiert wird es als Produkt ihrer Längen, multipliziert mit cos(α), wobei mit α der Winkel zwischen beiden Vektoren gemeint ist (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°).

Noch einfacher lässt es sich berechnen, indem man die Koordinaten beider Vektoren zeilenweise multipliziert und die Produkte addiert.

Wie kann man feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind?

#617

Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Beispiel 1

Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Beispiel 2

Bestimme k so, dass beide Vektoren senkrecht zueinander sind.

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 5 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

#618

Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:

cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen

Beispiel

−

∠

≈

Wie ist die Lage des Vektorprodukts zweier Vektoren relativ zu diesen?

#621

Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.

Beispiel

Gegeben sind die Vektoren

−

und

−

Bestimme jeweils einen Vektor

, der zu diesen beiden senkrecht steht und

(a) die Länge 3 besitzt.

(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.

Welche Eigenschaft hat das Vektorprodukt zweier Vektoren bezüglich des aufgespannten Parallelogramms?

#620

Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.

Beispiel

Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.

Wie berechnet man die Koordinaten des Produktvektors beim Vektorprodukt zweier Vektoren?

#619

Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a₁, a₂ und a₃ und der zweite die Koordinaten b₁, b₂ und b₃, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a₂b₃ − a₃b₂

a₃b₁ − a₁b₃

a₁b₂ − a₂b₁

Beispiel

−

Was ist ein Spat und wie wird sein Volumen berechnet?

#622

Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:

Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

Beispiel

Berechne das Volumen des von den Vektoren

und

aufgespannten Prismas mit

−

und

Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wird?

#850

Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.