Koordinatengeometrie - Lineare Abhängigkeit und Unabhängkeit, Matheübungen

Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren im Zwei- und Dreidimensionalen durch anschauliche Vorstellung und durch Rechnung (Gleichungssystem) bestimmen. - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 13 Aufgaben in 3 Levels

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    Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

    Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

    \[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

    ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Kreuze richtig an (Mehrfachauswahl möglich). Der Nullvektor kann stets ausgeschlossen werden.
    • Drei Vektoren im ℝ³ sind linear 
    abhängig
      
    unabhängig
      
    keine Aussage möglich.
    Vier Vektoren im ℝ³ sind linear 
    abhängig
      
    unabhängig
      
    keine Aussage möglich.
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Stoff zum Thema
Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

Beispiel
Überprüfe folgende drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit:
2
−
2
7
    
1
−
5
4
    
1
2
−
1
Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.