Koordinatengeometrie - Lineare Abhängigkeit und Unabhängkeit, Matheübungen

Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren im Zwei- und Dreidimensionalen durch anschauliche Vorstellung und durch Rechnung (Gleichungssystem) bestimmen. - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 13 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 12
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

    Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

    \[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

    ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 3
  • Überprüfe auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit.
    • 1
    −
    2
    3
        
    2
    0
    1
        
    1
    1
    1
    Schritt 1 von 3
    Vervollständige den Ansatz:
     
     
    (I):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
     
    (II):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
    (III):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
    Aus (II) folgt schließlich 
    λ
    3
    =
    λ
    1
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

Beispiel
Überprüfe folgende drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit:
2
−
2
7
    
1
−
5
4
    
1
2
−
1
Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.