Koordinatengeometrie - Lineare Abhängigkeit und Unabhängkeit, Matheübungen

Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren im Zwei- und Dreidimensionalen durch anschauliche Vorstellung und durch Rechnung (Gleichungssystem) bestimmen. - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 14.

  • Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

    Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

    \[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

    ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Zwischenschritt" unterhalb der Aufgabe.

Überprüfe auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit.

  •  Zwischenschritte aktiviert
    Für diese Aufgabe müssen Zwischenschritte aktiviert sein
  • 1
    −
    2
    3
        
    2
    0
    1
        
    1
    1
    1
    Schritt 1/3
    Vervollständige den Ansatz:
     
     
    (I):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
     
    (II):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
    (III):
        
    λ
    1
    +
    λ
    2
    +
    λ
    3
    =
    Aus (II) folgt schließlich 
    λ
    3
    =
    λ
    1
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

Beispiel
Überprüfe folgende drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit:
2
−
2
7
    
1
−
5
4
    
1
2
−
1
Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.