Modellieren von Wachstums- und Abklingvorgängen, Matheaufgaben

Beschreibung von Wachstums- und Abklingvorgängen mit Hilfe der natürlichen Exponentialfunktion; u.a. Ermittlung des Wachstumsfaktors, der Wachstumsgeschwindigkeit, Verdoppelungs- und Halbwertszeit; Basiswechsel von b zu e

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Die Tabelle zeigt Messwerte
f

t

in Abhängigkeit der Zeit t in Sekunden.

Zeit t in s

20

30

40

Messwert f

t

44,8

26,8

16,1

Bearbeite die folgenden Teilaufgaben im Einzelschrittmodus:
a) Begründe, dass für die zeitliche Entwicklung der Messgröße eine lineare Modellierung nicht sinnvoll ist, eine exponentielle Modellierung hingegen gut zu passen scheint.
b) Bestimme anhand des ersten und des letzten Messwerts einen passenden Funktionsterm der Form
f

t

=
b
·
e
k
·
t

.

c) Ermittle die Halbwertszeit
T
H

der gemessenen Größe.
Schritt 1/3
Zu a)
Eine lineare Modellierung wäre nicht sinnvoll, weil
Eine exponentielle Modellierung scheint gut zu passen, weil sich die Messwerte in gleichen Zeitspannen von je 10s nämlich

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Was sind Verdopplungszeit und Halbwertszeit und wie berechnet man sie aus einem Funktionsterm?

#1229

Für einen exponentiellen Wachstumsvorgang mit dem Funktionsterm f(t) gibt es stets eine Zeitspanne T_V (Verdopplungszeit), in der sich die betrachtete Größe verdoppelt. Man ermittelt sie durch Auflösen der Gleichung f(T_V) = 2 ⋅ f(0).

Entsprechend gibt es für einen exponentiellen Abklingvorgang mit dem Funktionsterm f(t) stets eine Zeitspanne T_H (Halbwertszeit), in der sich die betrachtete Größe halbiert. Man erhält sie durch Auflösen der Gleichung f(T_H) = 0,5 ⋅ f(0).

Beispiel

Eine Messgröße kann mithilfe des Terms

f(t)

−

0,065

modelliert werden. Dabei steht

≥

für die Zeit in Minuten. Begründe, ob es eine Zeitspanne gibt, in der sich die Messgröße jeweils verdoppelt oder halbiert, und berechne diese Zeitspanne gegebenenfalls.

Wie lautet der Funktionsterm für exponentielles Wachstum und Abklingen und wie bestimmt man die Parameter und die prozentuale Änderung?

#1227

Mithilfe eines Funktionsterms der Form f(t)=b⋅a^t kann man exponentielle Wachstums- und Abklingvorgänge modellieren. Dabei steht t für die Zeit (in einer bestimmten Zeiteinheit), b = f(0) für den Anfangsbestand und a für den Wachstumsfaktor.

Aus dem Wachstumsfaktor kann man die prozentuale Änderungsrate pro Zeiteinheit ermitteln, indem man (a-1)⋅100% rechnet, indem man also vom Wachstumsfaktor 1 subtrahiert und das Ergebnis in Prozent schreibt.

Beispiel

25000

1,025

gibt näherungsweise die Bevölkerungsentwicklung einer Stadt an. t steht für die Zeit in Jahren seit 2000. Interpretiere die Werte 25000 und 1,025 im Sachzusammenhang und gib an, wie sich die Bevölkerungszahl der Stadt prozentual pro Jahr verändert.

Wie kann man den Funktionsterm eines Wachstums- oder Abklingvorgangs zwischen beliebiger Basis und natürlicher Exponentialfunktion umwandeln?

#1228

Beim Modellieren von Wachstums- und Abklingvorgängen benötigt man statt Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis oft natürliche Exponentialfunktionen, z.B. wenn die Ableitung gesucht ist. Dazu ersetzt man die bisherige Basis a durch den äquivalenten Term e^ln(a) und schreibt f(t)=b⋅e^ln(a)⋅t. Umgekehrt kann man statt e^k⋅t einfach (e^k)^t schreiben, so dass e^k dem Wachstumsfaktor entspricht.

Beispiel 1

Ein Patient erhält nach einer Operation eine Infusion mit Schmerzmittel. Näherungsweise soll angenommen werden, dass die Menge des Wirkstoffs im Blut des Patienten nach der Infusion exponentiell abnimmt. Zu Beginn sind 800mg des Wirkstoffs im Blut enthalten, nach drei Stunden hat sich die Wirkstoffmenge durch Verstoffwechslung in der Leber halbiert. Ermittle die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut nach einer Stunde. Gib zudem die Einheit und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Beispiel 2

Die Abbildung zeigt den Graphen eines exponentiellen Wachstumsvorgangs. Bestimme einen passenden Term und verwende dabei die natürliche Exponentialfunktion.