Normalverteilung - Sigma-Regeln, Matheübungen

Wahrscheinlichkeitsbestimmung bei gegebenem Intervall und umgekehrt; Begründung gegebener Aussagen - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 11 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
    • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
    P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
    P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
    P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
    • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
    P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
    P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
    P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 2
  • Bestimme das gesuchte Intervall mithilfe der Sigma-Regeln. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • Die stetige Zufallsgröße X besitzt als Dichtefunktion 
    φ
     
    x
    =
    1
    5
    2π
    ·
    e
    −
    x
    −
    13
    2
    50
    .
    Ermittle nur mithife der Sigma-Regeln ein symmetrisch um den Erwartungswert liegendes Intervall I, so dass 
    P
     
    X
     
    ∈
     
    I
     
    ≈
     
    99,0%
     gilt.
    I
    =
    ;
     
  • keine Berechtigung
Beispiel
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie helfen die Sigma-Regeln bei normalverteilten Zufallsgrößen und wie lauten sie?
#1333
Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
  • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
  • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
Beispiel 1
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 20 von 52 abweicht
b) 
P
 
X
 
≥
 
62
Beispiel 2
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) ein Intervall I so, dass die Wahrscheinlichkeit 
P
 
X
 
∈
 
I
 ungefähr 99% beträgt
b) 
a
 
∈
 
ℝ
 so, dass 
P
 
a
 
≤
 
X
 
≤
 
52
 
≈
 
45%
Beispiel 3
Eine Physik-Lehrerin hat schon öfter Schülerinnen und Schüler einen Versuch zur Bestimmung der Fallbeschleunigung durchführen lassen. Im Durchschnitt haben diese über die Jahre hinweg den exakten Wert von 
9,81
 
m
s
2
 erhalten. Aus Erfahrung weiß sie jedoch auch, dass die von den Schülern gemessenen Werte durchaus eine gewisse Streuung aufweisen. Modellhaft kann von normalverteilten Messwerten mit einer Standardabweichung um 3% vom Erwartungswert ausgegangen werden.
Einer ihrer Schüler behauptet: "Dann kommen Werte unter 
9
 
m
s
2
 im Schnitt höchstens bei jedem zweihundertsten Versuch vor."
Begründe anhand einer Sigma-Regel, ob die Behauptung im Rahmen des Modells zutrifft.